У математиці функція називається монотонною, якщо вона має особливу властивість: у разі зміни значення аргументу функції, значення самої функції або завжди збільшується, або завжди зменшується. Тобто, монотонна функція завжди “йде” в одному напрямку – або вгору, або вниз по осі координат.
Існує два види монотонних функцій: зростаючі та спадаючі. Функція, що зростає, зростає зі збільшенням значення аргументу, тобто, значення функції збільшується при збільшенні значення аргументу. Наприклад, функція y = x^2 є зростаючою, оскільки при збільшенні значення x, значення y також збільшується.
Функція, що спадає, навпаки, зменшується зі збільшенням значення аргументу. Значення функції зменшується при збільшенні значення аргументу. Наприклад, функція y = -x є спадною, тому що при збільшенні значення x, значення y зменшується.
Монотонні функції знаходять широке застосування в різних галузях: у математичному аналізі, економіці, фізиці тощо. Вони дають змогу аналізувати зміну значень величин залежно від вхідних параметрів і прогнозувати їхню поведінку.
| Тип монотонності | Визначення | Приклад |
|---|---|---|
| Строго зростає | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, при x1 < x2, выполняется f(x1) < f(x2). | f(x) = x^2 |
| Строго спадає | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, при x1 < x2, выполняется f(x1) > f(x2). | f(x) = -x^3 |
| Незубуває | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, при x1 ≤ x2, виконується f(x1) ≤ f(x2). | f(x) = x^2 |
| Незростає | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, за x1 ≤ x2, виконується f(x1) ≥ f(x2). | f(x) = -x^3 |
Як довести, що функція є монотонною?
Визначення. Булева функція f(x1, …, xn) називається монотонною (належить класу M), якщо для будь-якої пари наборів α і β таких, що α β, виконується умова f(α)≤ f(β) (назвемо її умовою монотонності).
Як зрозуміти монотонна функція?
Якщо похідна функції додатна на всьому проміжку визначення, то функція є монотонно зростаючою. Якщо похідна функції від’ємна на всьому проміжку визначення, то функція є монотонно спадаючою. Якщо похідна не змінює знак на проміжку визначення, то функція не є монотонною.
Які функції називаються монотонними приклади?
Приклад: 1) лінійна функція y=-3x є спадною на проміжку – ∞ ; + ∞ . 2) Квадратична функція y = x2 є спадною на проміжку – ∞ ; 0 . Функції, що зростають, і функції, що спадають, називають монотонними функціями.
